Em março, uma equipe de ladrilhadores matemáticos anunciou sua solução para um problema histórico: eles descobriram um “einstein” indescritível — uma única forma que ladrilha um plano, ou uma superfície plana bidimensional infinita, mas apenas em um padrão não repetitivo. “Sempre quis fazer uma descoberta”, disse na época David Smith, o aquarista cuja descoberta original estimulou a pesquisa.
O Sr. Smith e seus colaboradores batizaram seu einstein de “o chapéu”. (O termo “einstein” vem do alemão “ein stein” ou “uma pedra” – mais vagamente, “um ladrilho” ou “uma forma”.) Desde então, tem sido forragem para Jimmy Kimmel, uma cortina de chuveiro, uma colcha , uma bola de futebol e cortadores de biscoito, entre outras bugigangas. festa do chapéu está acontecendo na Universidade de Oxford em julho.
“Quem acreditaria que um pequeno polígono poderia causar tanto barulho”, disse Marjorie Senechal, matemática do Smith College que está na lista de palestrantes do evento.
Os pesquisadores podem ter ficado satisfeitos com a descoberta e o alvoroço, e deixado bem o suficiente sozinho. Mas o Sr. Smith, de Bridlington em East Yorkshire, Inglaterra, e conhecido como um “consertador imaginativo”, não conseguia parar de mexer. Agora, dois meses depois, a equipe se superou com um einstein novo e melhorado. (Os artigos para ambos os resultados ainda não foram revisados por pares.)
Essa busca de ladrilhos começou na década de 1960, quando o matemático Hao Wang conjecturou que seria impossível encontrar um conjunto de formas que pudesse ladrilhar um plano apenas aperiodicamente. Seu aluno Robert Berger, agora um engenheiro elétrico aposentado em Lexington, Massachusetts, começou a encontrar um conjunto de 20.426 ladrilhos que o faziam, seguido por um conjunto de 104. Na década de 1970, Sir Roger Penrose, um físico matemático em Oxford, havia trouxe para baixo para dois.
E então veio o chapéu monotile. Mas houve uma queixa.
O Dr. Berger (entre outros, incluindo os pesquisadores dos artigos recentes) observou que o ladrilho do chapéu usa reflexões – inclui tanto o ladrilho em forma de chapéu quanto sua imagem espelhada. “Se você quiser ser exigente sobre isso, pode dizer, bem, isso não é realmente um conjunto de um ladrilho, é um conjunto de dois ladrilhos, onde o outro ladrilho é um reflexo do primeiro”, disse Berger. .
“Até certo ponto, esta questão é sobre ladrilhos como objetos físicos, em vez de abstrações matemáticas”, escreveram os autores no novo artigo. “Um chapéu recortado de papel ou plástico pode ser facilmente virado em três dimensões para obter seu reflexo, mas um ladrilho de cerâmica vidrada não.”
A nova descoberta monotile não usa reflexões. E os pesquisadores não precisaram procurar muito para encontrá-lo – é “um parente próximo do chapéu”, observaram.
“Não fiquei surpreso com a existência desse bloco”, disse o coautor Joseph Myers, desenvolvedor de software em Cambridge, Inglaterra. “Aquele existiu tão intimamente relacionado com o chapéu foi surpreendente.”
Originalmente, a equipe descobriu que o chapéu fazia parte de um morphing continuum – uma infinidade incontável de formas, obtidas pelo aumento e diminuição das bordas do chapéu – que produzem ladrilhos aperiódicos usando reflexões.
Mas houve uma exceção, um “membro desonesto do continuum”, disse Craig Kaplan, coautor e cientista da computação da Universidade de Waterloo. Esta forma, tecnicamente conhecida como Tile (1,1), pode ser considerada uma versão equilátera do chapéu e, como tal, não é um monotil aperiódico. (Isso gera um mosaico periódico simples.) “É meio ridículo e surpreendente que essa forma tenha um superpoder oculto”, disse o Dr. Kaplan – um superpoder que desbloqueou a nova descoberta.
Inspirado pelas explorações de Yoshiaki Araki, presidente da Japan Tessellation Design Association em Tóquio, Smith começou a mexer com o Tile (1,1) logo após a primeira descoberta ter sido postada online em março. “Eu cortei formas do cartão à máquina para ver o que poderia acontecer se eu usasse apenas ladrilhos não refletidos”, disse ele em um e-mail. Ladrilhos refletivos foram proibidos “por decreto”, como dizem os autores.
O Sr. Smith disse: “Não demorou muito para que eu produzisse um remendo razoavelmente grande” – encaixando os ladrilhos como um quebra-cabeça, sem sobreposições ou lacunas. Ele sabia que estava tramando algo.
Investigando mais – com uma combinação de raciocínio matemático tradicional e desenho, além de trabalho manual computacional do Dr. Kaplan e do Dr. Myers – a equipe provou que esse ladrilho era realmente aperiódico.
“Chamamos isso de ‘monótilo aperiódico fracamente quiral’”, explicou o Dr. Kaplan nas redes sociais. “É aperiódico em um universo livre de reflexos, mas ladrilha periodicamente se você puder usar reflexos.”
O adjetivo “quiral” significa “mão”, do grego “kheir”, para “mão”. Eles chamaram o novo ladrilho aperiódico de “quiral” porque é composto exclusivamente de ladrilhos destros ou canhotos. “Você não pode misturar os dois”, disse Chaim Goodman-Strauss, coautor e matemático de divulgação do Museu Nacional de Matemática de Nova York.
A equipe foi além: eles produziram uma família de “monótolos aperiódicos estritamente quirais” por meio de uma modificação simples do ladrilho T(1,1): eles substituíram as arestas retas por curvas.
Denominados de “Espectros”, esses monótolos, por seus contornos curvilíneos, permitem apenas ladrilhos não periódicos e sem reflexos. “Um Espectro canhoto não pode se encaixar com sua imagem espelhada destra”, disse o Dr. Kaplan.
“Agora não há dúvidas sobre se o conjunto de ladrilhos aperiódicos tem um ou dois ladrilhos”, disse Berger em um e-mail. “É gratificante ver um einstein de cerâmica vidrada.”
Doris Schattschneider, matemática da Universidade da Morávia, disse: “Isso é mais o que eu esperava de um monótilo aperiódico”. Em uma lista de ladrilhos, ela acabara de ver uma divertida “Escherização” (em homenagem ao artista holandês MC Escher) do ladrilho Spectre pelo Dr. Araki, que o chamou de “porco de duas cabeças.”
“Não é simples como o chapéu”, disse Schattschneider. “Este é um ladrilho realmente estranho. Parece um erro da natureza.”
